Limes funkcije

Limes funkcije $f$ u beskonačnosti je broj $L$ takav da za svaki $x$ veći od nekog proizvoljno velikog broja $M$, vrijednosti funkcije $f(x)$ se nalaze u okolini, "blizu" broja $L$. Drugim riječima, što se $x$ više povećava, vrijednosti $f(x)$ su sve bliže broju $L$.

Za računanje limesa u beskončnosti često ćemo koristiti sljedeću formulu.

Kada god računamo limes razlomka, uvijek ćemo htjeti podijeliti i brojnik i nazivnik najvećom potencijom $x$-a i nakon toga gledati što dobijemo. Sve moguće situacije su prikazane na slici.

Limes funkcije $f$ u točki je broj $L$ takav da se okolina neke točke $c$ preslikava u okolinu točke $L$. Drugim riječima, što se $x$ više približava točki $c$, to se $f(x)$ približava $L$.

Funkcija ima jednostrane limese, limes slijeva i limes zdesna. Oni mogu biti isti ili različiti.

Kažemo da funkcija ima limes ako postoje limes slijeva i limes zdesna te su oba jednaka.

Pogledajmo na sljedećem primjeru.

Kada se brojevi na $x$-osi s lijeve strane broja $1$ približavaju broju $1$ (pišemo $x\rightarrow 1^{-}$), tada se vrijednosti funkcije (brojevi na $y$-osi) približavaju broju $4$.

Kada se brojevi na $x$-osi s desne strane broja $1$ približavaju broju $1$ (pišemo $x\rightarrow 1^{-}$), tada se vrijednosti funkcije (brojevi na $y$-osi) približavaju broju $1$.

Kažemo da funkcija f(x) ima jednostrane limese:

• limes slijeva $ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = 4$
• limes zdesna $ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 1$

Međutim, funkcija nema limes kada $x$ teži u $1$ jer limes slijeva i limes zdesna nisu jednaki.

Kod računanja limesa, prvo ćemo morati srediti izraz koji nam je zadan, a onda samo umjesto $x$-a uvrstiti broj prema kojem se $x$ približava.

Neprekidnost funkcije

Funkcija $f$ je neprekidna u točki $c$ ako postoji limes u toj točki i on je upravo jednak vrijednosti $f(c)$.

Računanje s limesima

Kao i za računanje limesa nizova, slična pravila imamo i za limese funkcija.