Svojstva funkcija

Graf funkcije

Graf funkcije je ono što dobijemo kada funkciju nacrtamo u koordinatnom sustavu. Formalno, to je skup točaka $(x,f(x))$, za sve $x$ koje funkcija može primiti.

Ne mora svaki graf biti funkcija. Međutim, za bilo koji graf lako možemo provjeriti je li funkcija ili ne, takozvanim vertikalnim testom. Ako negdje na grafu možemo povući ravnu, uspravnu liniju tako da siječe graf u dvije ili više točke, onda to nije funkcija. U suprotnom je!

Nultočke funkcije

Nultočka je broj $x$ u kojem graf siječe os $x$. Možemo ga dobiti i rješavanjem jednadžbe koju dobijemo kada funkciju izjednačimo s $0$. Zato što se nalazi na osi $x$, druga koordinata točke koja na prvom mjestu ima nultočku $x$ je uvijek $0$.

Funkcija može imati nula nultočaka, ali može ih imati i puno.

Monotonost

Funkcija je rastuća ako za što veći $x$ koji ubacimo u funkciju, ona izbaci i veći broj nazad. Dakle, ako računamo vrijednost funkcije za neka dva broja, funkcija će vratiti veću vrijednost za veći od tih brojeva. Na grafu, ako gledajući s lijeva na desno vidimo da funkcija ide prema gore, da se penje, onda je funkcija rastuća.

Funkcija je padajuća ako za što veći $x$ koji ubacimo u funkciju, ona izbaci manji broj. Dakle, ako računamo vrijednost funkcije za neka dva broja, funkcija će vratiti manju vrijednost za veći od tih brojeva. Na grafu, ako gledajući s lijeva na desno vidimo da funkcija ide prema dolje, da se smanjuje, onda je funkcija padajuća.

Monotone funkcije su ili rastuće ili padajuće funkcije.

Omeđenost

Funkcija $f$ je ograničena (omeđena) ako su sve vrijednosti koje funkcija poprima veće od nekog broja i manje od nekog drugog broja. Formalno, ako je $m \leq f(x) \leq M$ za neke brojeve $m$ i $M$.

U suprotnom ćemo reći da je funkcija neomeđena.

Parnost i neparnost

Funkcija $f$ je parna ako vrijedi $f(-x)=f(x)$. Graf parne funkcije je simetričan obzirom na y-os.

Funkcija $f$ je neparna ako vrijedi $f(-x)=−f(x)$. Graf neparne funckije je simetričan obzirom na ishodište.

Za sve druge funkcije kažemo da nisu niti parne niti neparne.

Periodičnost

Funkcija $f$ je periodična s periodom $T$ ako vrijedi $f(x)=f(x+T)$, odnosno vrijednost funkcije $f$ se ponovi svaki put kada se pomaknemo za $T$. Najmanji takav pozitivni period $T$ se zove temeljni period. Na grafu, periodičnost znači da ćemo imati neki komad funkcije koji će se svako toliko ponoviti.