Okomitost i simetrije

Okomitost

Za dva pravca kažemo da su okomiti ako je kut pod kojim se sijeku pravi, odnosno ako kut iznosi $90^{\circ}$.

Pravac je okomit na ravninu ako je okomit na svaki pravac u toj ravnini koji prolazi kroz točku sjecišta. Međutim, dovoljno je da pravac bude okomit na dva pravca iz ravnine koji prolaze sjecištem da bi zaključili da je pravac okomit na ravninu.

Ravnina je okomita na ravninu ako sadrži pravac koji je okomit na tu drugu ravninu.

Svojstva okomitosti:

• ako su dva pravca okomita na ravninu, onda su oni paralelni
• ako je pravac okomit na ravninu, onda je svaki pravac paralelan s njim isto okomit na tu ravninu
• ako je pravac okomit na neku ravninu, onda je okomit na svaku ravninu paralelnu s njom
• ako su dvije ravnine okomite na treću, onda je pravac kojeg dobijemo kao presjek prve dvije ravnine isto tako okomit na treću

Ortogonalna projekcija

Ortogonalna projekcija je preslikavanje koje točku prostora preslikava na pravac ili ravninu po okomici. Drugim riječima, točka ortogonalne projekcije će biti sjecište okomice iz točke na pravac ili ravninu koju gledamo.

Ortogonalna projekcija točke na pravac ili ravninu je točka.

Ortogonalna projekcija pravca na ravninu je pravac, ili točka ako je pravac okomit na ravninu. Kada radimo ortogonalnu projekciju pravca, dovoljno je napraviti ortogonalnu projekciju bilo koje dvije njegove točke na ravninu pa provući pravac kroz dvije novonastale točke. Taj novi pravac će biti naša ortogonalna projekcija.

Simetrije

Simetrija je preslikavanje koje neki element prostora preslika na drugo mjesto u prostoru. Moraju vrijediti dvije stvari:

1) Svaka točka elementa kojeg preslikavamo jednako je udaljena od središta simetrije kao i njena projekcija.

2) Svaka točka elementa kojeg preslikavamo, njena projekcija i središte simetrije moraju ležati na istom pravcu.

Ovisno o središtu simetrije, imamo tri vrste (sve su zapravo iste, samo je razlika u nazivu):

• centralna - središte simetrije je točka
• osna - središte simetrije je pravac
• zrcalna - središte simetrije je ravnina