Kvadratna funkcija

Kvadratna funkcija ili polinom drugog stupnja je svaka funkcija oblika $f(x)=ax^2+bx+c$, gdje su $a$, $b$ i $c$ realni brojevi i $a \neq 0$.

Parabola je ime za graf kvadratne funkcije.

Tjeme parabole $T$ s koordinatama $(x_0, y_0)$ je "najisturenija" točka parabole, a koordinate dobivamo formulom:

Kažemo da kvadratna funkcija ima minimum/maksimum u $x_0$, a da je vrijednost tog minimuma/maksimuma broj $y_0$.

U slučaju minimuma, kvadratna funkcija će se prvo spuštati do tjemena, odnosno padati, a onda uspinjati, odnosno rasti. Kod maksimuma je obrnuto, prvo rastemo do tjemena, a onda padamo.

Vodeći koeficijent

Vodeći koeficijent, odnosno broj $a$ koji se nalazi ispred $x^2$ određuje hoće li parabola biti okrenuta otvorom prema gore ili prema dolje.

• $a > 0$ $\implies$ otvor okrenut prema gore, tj. $a$ je pozitivan pa se parabola "smije" :)
• $a < 0$ $\implies$ otvor okrenut prema dolje, tj. $a$ je negativan pa je parabola "tužna" :(

Druga stvar, ako ne gledamo predznak ispred broja $a$, što je on veći po svojoj vrijednosti, to je parabola uža.

Diskriminanta

Slično kao u prošloj lekciji, diskriminanta će nam govoriti koliko imamo nultočki na grafu kvadratne funckije. Formula je ista $D = b^2 -4ac$.

Zajedno s vodećim koeficijentom, diskriminanta nam može dati jako dobro ideju o izgledu i položaju same parabole.

Nultočke kvadratne funkcije

Nultočkama kvadratne funkcije $f(x) = ax^2 + bx + c$ ćemo zvati brojeve $x_1$ i $x_2$, ili samo jedan od njih, za koje vrijedi $f(x_1) = f(x_2) = 0$. Drugim riječima, nultočke će biti oni $x$-evi koji su rješenje kvadratne jednadžbe $ax^2 + bx + c = 0$.

Ako su nam poznata rješenja kvadratne jednadžbe, odnosno nultočke funkcije, pripadnu kvadratnu funkciju možemo zapisati i u drugom obliku: $f(x)=ax^2 + bx + c = a(x-x_1)(x-x_2)$.

Kada crtamo, to će biti oni $x$-evi gdje graf siječe x-os.

Preko nultočki također možemo doći i do tjemena parabole $T(x_0, y_0)$.

Crtanje grafa kvadratne funkcije

Parabolu ćemo crtati u 3 koraka.

1. Odredimo nultočke kvadratne funkcije.

2. Odredimo koordinate tjemena preko jedan od dva, gore spomenuta, načina.

3. Povučemo parabolu tako da prolazi kroz jednu nultočku, zatim kroz tjeme i onda kroz drugu nultočku. Pazimo da je kod tjemena zaobljena, da nema "špic", i da nam parabola ne kreće/završava u nekoj nultočki, nego da prolazi barem malo kroz njih.

Presjek parabole i pravca

Parabola i pravac mogu se sijeći u dvije točke, dodirivati u jednoj točki ili uopće ne sijeći.

Izjednačimo kvadratnu funkciju $ax^2 + bx + c$ s pravcem $kx + l$ i prebacimo sve na lijevu stranu te sredimo. Diskriminanta novonastale kvadratne jednadžbe nam slično kao i prije govori koliko imamo sjecišta parabole i pravca, a rješenja ove, nove kvadratne jednadžbe su upravo prve koordinate sjecišta parabole s pravcem.