Zbrajanje i množenje polinoma

Polinomi u matematici su one funkcije koje imaju samo argumente $x$ na neke potencije i koeficijente (brojeve) ispred takvih članova. Tako je na primjer linearna funkcija $f(x)=a x+b$ polinom prvog stupnja, kvadratna funkcija $f(x)=a x^2+b x+c$ polinom drugog stupnja i tako dalje.

Formalno, polinom n-tog stupnja je funkcija $P(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0$, gdje je $P$ ime funkcije, $x$ nepoznanica, a $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ realni brojevi i $a_n \neq 0$. To je standardni zapis polinoma.

Brojevi $a_n, a_{n-1}, \ldots, a_1, a_0$ su koeficijenti polinoma. Vodeći koeficijent je $a_n$ (to je broj ispred najveće potencije), a $a_0$ slobodni koeficijent (broj koji nema $x$ uz sebe).

Stupanj polinoma je najveći eksponent koji imamo uz $x$. Oznaka je $stP=n$.

Polinom nultog stupnja je samo jedan broj $a_0 \neq 0$, bez $x$-a. Dakle, ta funkcija je uvijek jednaka tom jednom te istom broju. Nulpolinom je polinom koji je uvijek jednak $0$.

Zbrajanje i množenje polinoma

Zbrajanje polinoma $P$ i $G$ je novi polinom $P+G$ kojeg dobijemo tako da samo ispišemo sve stvari iz jednog i drugog polinoma i zbrojimo odgovarajuće potencije. Sjetimo se da možemo zbrajati samo $x$-eve s onim $x$-evima koji imaju jednake eksponente.

Umnožak polinoma $P$ i $G$ je novi polinom $P \cdot G$ kojeg dobijemo tako da stavimo oba polinoma u zagrade i pomnožimo zagrade. Sjetimo se da se to radi po pravilu "svaki sa svakim".

Jednakost polinoma

Polinomi $P$ i $G$ su jednaki, oznaka $P=G$ ako imaju identičan zapis, odnosno ako imaju sve iste potencije od $x$ i svi brojevi uz iste potencije su im jednaki.