Matematička indukcija i binomni poučak

Koliki je ukupan broj dijagonala peterokuta?
Želimo li dobiti odgovor na ovo pitanje, koristit ćemo opću formulu za ukupan broj dijagonala te je primijeniti na specifičan slučaj, kada je $n=5$. Kažemo da smo koristili deduktivni pristup u zaključivanja jer smo iz općeg zaključka (iz formule) došli do specifičnog (za $n=5$).

Obratno bi bilo da iz pojedinačnih slučajeva izvodimo opći zaključak, neku formulu ili slično te tada kažemo da smo koristili induktivni pristup u zaključivanju.
No, s tim treba biti oprezan jer takve tvrdnje (koje ovise o nekom prirodnom broju $n$) treba dokazati. U takvim slučajevima često koristimo dokaze matematičkom indukcijom.

Matematička indukcija

Matematička indukcija je način dokazivanja da neka tvrdnja vrijedi za sve prirodne brojeve $n$ počevši od $1$ ili od nekog prirodnog broja $n_0$.

Želimo li dokazati istinitost neke tvrdnje $T(n)$ koja ovisi o prirodnom broju $n$, koristit ćemo princip matematičke indukcije koji se sastoji od tri koraka:

1. Baza indukcije: Trebamo provjeriti da tvrdnja vrijedi za početni broj $n_0$ (najčešće je to broj $1$), tj. da je $T(n_0)$ istinita tvrdnja (kada uvrstimo broj treba vrijediti jednakost).

2. Pretpostavka indukcije: Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki broj $n$, tj. pretpostavimo da je $T(n)$ istinita tvrdnja.

3. Korak indukcije: Dokažimo da uz tu pretpostavku tvrdnja vrijedi i za broj $n+1$, tj. da iz $T(n)$ slijedi i tvrdnja $T(n+1)$ (u prethodni korak, odnosno u početnu tvrdnju, gdje god se nalazi $n$ uvrštavamo $n+1$).

Ako su ispunjena sva tri koraka, tada je tvrdnja $T(n)$ istinita za svaki prirodan broj $n \geqslant n_0$.

Matematičkom indukcijom možemo dokazati djeljivost brojeva, nejednakosti, geometrijske zadatke itd.

Pokažimo jedan primjer dokaza djeljivosti putem matematičke indukcije.

Binomni poučak

Binomni koeficijent $ \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right) $ nam daje odgovor na pitanje: na koliko se načina iz skupa od $n$ elemenata može odabrati podskup od $k$ elemenata te ga računamo pomoću formule:

Za svaki prirodni broj $n$ i svake realne brojeve $a$ i $b$ vrijedi:

Gornju formulu zovemo binomna formula ili binomni poučak.

Pogledajmo primjer:

Primijetimo da su koeficijenti prvog i posljednjeg člana binomne formule jednaki $1$ jer $ \left( \begin{array}{c} n \\ 0 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} n \\ n \end{array} \right)=1$.

Također, možemo uočiti da svaki član binomne formule ima istu strukturu pa možemo zapisati i opći član binomne formule:

Na taj način, ubacivajući redom $k$-ove, dobit ćemo sve članove u binomnoj formuli te je možemo zapisati i na drugi način, uz pomoć sume:

Prethodna formula može nam biti korisna kada želimo izračunati onaj član u razvoju binoma koji (ne)sadrži neku potenciju. Na primjer, u razvoju binoma $(x+2)^{12}$ želimo odrediti član koji ne sadržava $x$ ili član koji sadržava $x^5$.
Također ako želimo odrediti npr. šesti član u razvoju binoma, također ćemo koristiti tu formulu. U tom slučaju ćemo staviti da je $k=5$ (jer je prvi član za $k=0$) te ćemo dobiti traženi član.