Trigonometrijske jednadžbe

Rješavanje uz pomoć brojevne kružnice

Jednadžbe oblika $A \sin (Bx+C)+D=0$ i $A \cos (Bx+C)+D=0$ možemo riješiti uz pomoć brojevne kružnice. Imamo nekoliko koraka.

1. Prebacimo $D$ na desnu stranu, a zatim cijelu jednadžbu podijelimo s $A$.

2. Od jednadžbi $\sin (Bx+C)=-\frac{D}{A}$ i $\cos (Bx+C)=-\frac{D}{A}$ nastavljamo tako da na brojevnoj kružnici pronađemo točku kojoj odgovara vrijednost $-\frac{D}{A}$ te pogledamo koliko iznose sinus, odnosno kosinus te točke.

3. Uvijek ćemo imati dvije vrijednosti. U slučaju sinusa, ako je jedna vrijednost $x$, druga je $\pi - x$, a u slučaju kosinusa, vrijednosti su $x$ i $-x$.

4. Nastavimo tako da izjednačimo $Bx+C$ i svaku od tih vrijednosti, ali pripazimo da uz vrijednost još stavimo izraz $+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$. Time se osiguramo da pokupimo sva rješenja bez obzira koliko puta smo omotali brojevni pravac oko kružnice.

Oprez! Pripazimo samo još kada računamo da ako množimo ili dijelimo cijelu jednadžbu nekim brojem, istu operaciju primijenimo i na taj izraz $2k\pi$.

Algebarsko rješavanje

Ovaj način koristi inverzne funkcije sinusa i kosinusa - arcus sinus ($\arcsin$) i arcus kosinus ($\arccos$). Oznake koje još koristimo, kao što piše na kalkulatoru su $\sin ^{-1}$ i $\cos ^{-1}$.

Prvi korak je isti kao u prvom slučaju. Kod drugog koraka je razlika, računamo $\sin ^{-1}$, odnosno $\cos ^{-1}$ vrijednosti $-\frac{D}{A}$. Opet imamo dva rješenja. Kalkulator će nam izbaciti jedno $x$, a drugo je $\pi - x$ u slučaju sinusa ili $-x$ u slučaju kosinusa. Dodajemo i $2k\pi, k \in \mathbb{Z}$ kao u koraku 4.

Rješavanje uz pomoć grafa

Ako želimo iste jednadžbe $A \sin (Bx+C)+D=0$ i $A \cos(Bx+C)+D=0$ riješiti preko grafa, samo ćemo umjesto očitavanja vrijednosti s brojevne kružnice, pogledati gdje graf funkcije sinus, odnosno kosinus, siječe vodoravni pravac $y=-\frac{D}{A}$. Dakle, umjesto koraka 2 nalazimo sjecište unutar intervala $[0, 2 \pi \rangle$. Sva rješenja ćemo pisati kao i prije u koraku 3, $x$ i $\pi - x$ u slučaju sinusa, odnosno $\pm x$ u slučaju kosinusa. Korak 4 je skroz isti kao i gore.

Jednadžbe s tangensom i kotangensom

Ovakve jednadžbe rješavamo na iste načine kao i gore, samo ćemo malo drugačije zapisivati rješenja.

U slučaju tangensa, kada dobijemo rješenje $x$, sva moguća rješenja ćemo zapisati kao $x+k\pi$.

U slučaju kotangensa, prebacimo ga u tangens pa tako nastavimo računati. Nakon što dođemo do oblika $\operatorname{ctg}(Bx+C) = D$, gdje su $B$, $C$ i $D$ neki brojevi, prebacit ćemo ga tako da tangens izjednačimo s brojem recipročnim broju $D$, tj. $\operatorname{tg}(Bx+C) = \frac{1}{D}$.

Trigonometrijske nejednadžbe

Trigonometrijske nejednadžbe su nejednadžbe u kojima se nepoznanica pojavljuje u nekoj od trigonometrijskih funkcija.
Trigonometrijske nejednadžbe rješavamo tako da najprije umjesto znaka nejednakosti ($<, >, \leq, \geq$) stavimo znak jednakosti ($=$) i riješimo trigonometrijsku jednadžbu po gore navedenim koracima. Zatim na brojevnoj kružnici označimo ta rješenja te spojimo te dvije točke na kružnici. Ta dužina dijeli brojevnu kružnicu na dva dijela. Preostaje provjeriti koji dio odgovara početnoj nejednadžbi. Pokažimo na primjeru.