Grafovi funkcija sinus i kosinus

Svojstva funkcije sinus

• Funkcija sinus postiže vrijednosti na intervalu $[-1,1]$.
• Nultočke funkcije su brojevi $k \pi, k \in \mathbb{Z}$.
• Maksimalna vrijednost funkcije se poprima za $x=\frac{\pi}{2}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$, a iznosi $1$.
• Minimalna vrijednost funkcije se poprima za $x=\frac{3\pi}{2}+2k\pi, k \in \mathbb{Z}$, a iznosi $-1$.
• Period je $2\pi$.

Svojstva funkcije kosinus

• Funkcija kosinus postiže vrijednosti na intervalu $[-1,1]$.
• Nultočke funkcije su brojevi $\frac{\pi}{2} + k \pi , k \in \mathbb{Z}$.
• Maksimalna vrijednost funkcije se poprima za $x=2k \pi, k \in \mathbb{Z}$, a iznosi $1$.
• Minimalna vrijednost funkcije se poprima za $x=(2k+1) \pi, k \in \mathbb{Z}$, a iznosi $-1$.
• Period je $2\pi$.

Graf funkcije sinus

Promatrat ćemo funkciju $f(x)=A \sin (Bx+C) + D$ i crtati njezin graf koji se zove sinusoida.

Međutim, idemo prvo redom vidjet što svaki od koeficijenata $A, B, C$ i $D$ znači.

$A$ je amplituda - govori da funkcija najviše ide do broja $A$, a najniže je u broju $-A$, odnosno govori koliko smo “izdužili” početnu funkciju $\sin x$.

$B$ je kružna frekvencija - utječe na period funkcije sinus, odnosno koliko često će se ponoviti isti dio funkcije. Formula za određivanje perioda $P$ za sinus je

$C$ je fazni pomak - govori za koliko pomičemo početnu funkciju lijevo ili desno po $x$-osi. Pripazimo samo da ako je $C$ pozitivan, funkciju pomičemo ulijevo za $C$, a ako je negativan, funkcija za vrijednost broja $C$ ide udesno.

$D$ je pomak po $y$-osi - govori za koliko pomičemo početnu funkciju gore ili dolje. Ako je $D$ pozitivan, za taj broj podignemo cijelu funkciju gore, a ako je negativan, spustimo ju za taj broj.

Crtanje grafa funkcije sinus

Graf funkcije $f(x)=A \sin (Bx+C) + D$ crtat ćemo u 5 koraka.

Crtanje grafa funkcije sinus

Graf funkcije $f(x)=A \sin (Bx+C) + D$ crtat ćemo u 5 koraka.

1. Odredimo period funkcije preko formule $P = \frac{2 \pi }{B}$.

2. Odredimo prvu nultočku (točku gdje graf siječe x-os) $x_0$ preko formule $x_0 =- \frac{C}{B}$. Druga nultočka je udaljena za jedan period od nje, pa samo na $x_0$ dodamo period $P$, tj. $x_1 = x_0 + P$. Treća nultočka je točno između ove dvije. To lako vidimo na crtežu ili izračunamo preko formule za aritmetičku sredinu kao što piše na slici.

3. Na pola između prve i treće nultočke, tj. između $x_0$ i $x_2$ se nalazi minimum ili maksimum funkcije (najniža ili najviša točka funkcije), koji iznosi $A$. Ako je $A$ pozitivan, to će biti maksimum, a ako je negativan onda je minimum. Dalje, na pola između druge i treće nultočke, $x_1$ i $x_2$, je opet minimum ili maksimum i isto iznosi $A$, ovaj put ono što nismo imali u prvom slučaju. Dakle, ako smo prvo išli u maksimum, sada će biti minimum i obrnuto. U svakom slučaju moramo napraviti cijeli jedan “brijeg” i “dol”.

4. Napravimo skicu grafa - moramo početi od prve nultočke, zatim proći kroz minimum/maksimum, kroz sljedeću nultočku doći do maksimuma/minimuma i završiti u zadnjoj nultočki.

5. Za kraj, napravimo još pomak po $y$-osi odnosno cijeli graf podignemo ili spustimo za vrijednost $D$. Dakle, sve će isto izgledati, samo malo više ili niže u odnosu na skicu grafa koji smo napravili pod 4.

Graf funkcije kosinus

Za crtanje grafa funkcije kosinus, kosinusoide, koristit ćemo graf funkcije sinus i vezu između sinusa i kosinusa.

Sve što trebamo napraviti za crtanje kosinusoide je u kosinusov argument dodati $\frac{\pi}{2}$ i prebaciti funkciju u sinus. Tako da zapravo za kosinus ne trebamo znati ništa novo, samo ćemo ga prebaciti u sinus.

Dakle, ako nam je zadano crtanje grafa funkcije $f(x)=A \cos (Bx+C) + D$, mi ćemo crtati $f(x)=A \sin (Bx+C+ \frac{\pi}{2}) + D$. To su isti grafovi, a drugi znamo nacrtati!