Kompleksni brojevi

Imaginarna jedinica, oznake $i$, je broj za koji vrijedi

Imaginarni broj je broj oblika $yi$ za neki realni broj $y$.

Kompleksni broj $z$ je broj oblika

U definiciji kompleksnog broja, $x$ i $y$ su obični, realni brojevi, a $i$ je i dalje imaginarna jedinica. Broj $x$ zovemo realni dio kompleksnog broja $z$, a $y$ je imaginarni dio.
Oprez! Imaginarna jedinica $i$ nije dio imaginarnog dijela kompleksnog broja $z$.

Oznake su:

Dva kompleksna broja su jednaka ako su im jednaki i realni dijelovi i imaginarni dijelovi.

Potencije imaginarne jedinice

Računanje s kompleksnim brojevima

Uzmimo kompleksne brojeve $z=x_1+y_1 i$ i $w=x_2+y_2 i$ i pokažimo kako se oni zbrajaju, oduzimaju, množe i dijele.

Dijeljenje je malo drugačije. Zapišimo dijeljenje u obliku razlomka i slijedimo korake.

1. Da bi podijelili dva kompleksna broja, prvo se moramo riješiti imaginarne jedinice iz nazivnika. To radimo tako da zadani razlomak pomnožimo razlomkom koji i u brojniku i u nazivniku ima konjugirano kompleksni broj kompleksnog broja koji je kod nas u nazivniku.

2. Gore napravimo množenje kao što znamo, a dolje isto pomnožimo zagrade ili iskoristimo formulu za množenje kompleksno konjugiranih brojeva (nalazi se malo niže).

3. Sredimo što se da srediti.

Konjugirano kompleksni brojevi

Za kompleksni broj $z = x +yi$, kažemo da je $\overline{z}$ kompleksno konjugirani broj broja $z$ ako je $\overline{z} = x-yi$.

Umnožak kompleksno konjugiranih brojeva $z$ i $\overline{z}$ je:

Modul kompleksnog broja

Modul kompleksnog broja $z = x+yi$, oznake $|z|$, je obični, realni broj koji računamo formulom:

Kompleksna ravnina

Kompleksna (Gaussova) ravnina nam služi za prikazivanje kompleksnih brojeva u ravnini. Izgleda isto kao i obični koordinatni sustav, samo sada na $x$-osi označavamo realni dio kompleksnog broja pa je to realna os, a na $y$-osi imaginarni dio pa je to imaginarna os. Kompleksne brojeve (točke) ćemo označavati upravo po tom principu: broj $z=x+yi$ će odgovarati točki s koordinatama $(x,y)$.

Gore spomenuti modul će biti udaljenost točke od ishodišta. Ako želimo izračunati udaljenost dva kompleksna broja u ravnini, prvo ćemo ih oduzeti, a zatim izračunati modul dobivenog rezultata.