Skupovi brojeva

Skup možemo shvatiti kao bilo kakvu kolekciju različitih objekata. Članove koji tvore skup zovemo elementima skupa.

Prirodni brojevi su oni brojevi do kojih možemo doći kada krenemo brojati od 1 na dalje, dakle 1, 2, 3, 4, ...

Cijeli brojevi su svi prirodni brojevi, nula i svi prirodni brojevi s minusom ispred.

Racionalni brojevi su oni brojevi koje možemo zapisati u obliku razlomka, npr. $\frac{m}{n}$, gdje je $m$ cijeli broj, a $n$ prirodan broj različit od 0.

Iracionalni brojevi su oni brojevi koji imaju beskonačan neperiodični decimalni zapis, tj. oni brojevi koje ne možemo napisati kao razlomak $\frac{m}{n}$, gdje je $m$ cijeli, a $n$ prirodan broj.

Realni brojevi su oni brojevi koji su ili racionalni ili iracionalni.

Računske operacije među skupovima

Kažemo da je skup $A$ podskup skupa $B$ ako je svaki element skupa $A$ ujedno i element skupa $B$.
Pišemo $A \subseteq B$.

Ako unutar nekog skupa $U$ promatramo odnose među njegovim podskupovima, skup $U$ zovemo univerzalni skup.

Unija skupova $A$ i $B$, oznake $A \cup B$, je skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju bilo kojem od skupova $A$ ili $B$.

Presjek skupova $A$ i $B$, oznake $A \cap B$, je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze i u skupu $A$ i u skupu $B$.

Ako skupovi $A$ i $B$ u presjeku nemaju zajedničkih elemenata, kažemo da su oni disjunktni skupovi.

Razlika skupova $A$ i $B$, oznake $A \backslash B$, je skup koji sadrži sve elemente koji se nalaze u skupu $A$, ali nisu u skupu $B$.

Neka je $A \subseteq U$. Komplement skupa $A$ je skup koji sadrži sve elemente univerzalnog skupa $U$ koji se ne nalaze u skupu $A$. Oznaka je $A^{C}$.

Kardinalni broj skupa je broj elemenata u skupu. Drugim riječima, to je broj članova ili broj vrijednosti koliko imamo u skupu. Oznaka je $card(S)$, za neki skup $S$.

Skup bez elemenata zovemo prazan skup. Oznaka je $\varnothing$.

Prisjetimo se sljedećih pojmova.

Prosti i složeni brojevi

Prirodne brojeve možemo podijeliti na proste i složene.

Prosti brojevi su oni brojevi koji su djeljivi samo s $1$ i sa samim sobom. Dakle, imaju točno dva djelitelja. Takvi su npr. $2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 \ldots$

Složeni brojevi su oni koji nisu prosti, odnosno oni brojevi koji imaju više od dva djelitelja. Takvi su $4, 6, 8, 9, 10, 12, \ldots$

Broj $1$ nije niti prost niti složen broj.

Najveći zajednički djelitelj i najmanji zajednički višekratnik

Najveći zajednički djelitelj brojeva $a$ i $b$, pod oznakom $\text{nzd} (a,b)$, je najveći broj koji je djelitelj i broja $a$ i broja $b$.

Najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva dobijemo tako da istodobno oba broja dijelimo njihovim zajedničkim prostim djeliteljima dok je to moguće. U trenutku kada to više nije moguće, postupak je gotov. Umnožak tako dobivenih faktora je najveći zajednički djelitelj.

Najmanji zajednički višekratnik brojeva $a$ i $b$, pod oznakom $\text{nzv} (a,b)$, je najmanji broj koji je višekratnik i broja $a$ i broja $b$.

Najmanji zajednički višekratnik dvaju brojeva dobijemo tako da istodobno oba broja dijelimo njihovim zajedničkim prostim djeliteljima dok je to moguće. Zatim svaki od brojeva zasebno rastavljamo dalje na proste faktore dok ne dobijemo broj $1$. Umnožak svih tih faktora je najmanji zajednički višekratnik.

Najbolje ćemo objasniti na primjeru: nađimo $\text{nzd} (18, 24)$ i $\text{nzv} (18, 24)$.

Dijeljenje s ostatkom

Teorem o dijeljenju s ostatkom: Za proizvoljni prirodan broj $a$ i cijeli broj $b$ postoje jedinstveni cijeli brojevi $q$ i $r$ takvi da je $b=qa+r$, gdje je $0 \leq r < a$.

U teoremu $q$ predstavlja najveći cijeli dio kvocijenta $b/a$, a $r$ ostatak pri dijeljenju.

Zapis racionalnih brojeva

Rekli smo da su racionalni brojevi su oni brojevi koje možemo zapisati u obliku razlomka npr. $\frac{m}{n}$ te se takav zapis zove razlomački zapis. Međutim, ako podijelimo broj $m$ brojem $n$ dobit ćemo decimalni zapis.

Prisjetimo se:

• $1.235$ konačni decimalni zapis
• $1.235235235235...=1.\dot{2}3\dot{5}$ periodički decimalni zapis
• $1.23535353535...=1.2\dot{3}\dot{5}$ mještovito periodički decimalni zapis

Također, možemo i obratno, iz decimalnog zapisa doći u razlomački zapis. Objasnimo po gornjim slučajevima.

• decimalni broj koji ima konačan decimalni zapis pretvaramo u razlomak tako da u brojnik zapišemo taj broj bez decimalne točke, a u nazivnik pišemo broj $1$ i dodajemo onoliko nula koliko ima decimalnih mjesta
• ako broj ima periodički decimalni zapis, u brojnik zapišemo taj broj bez decimalne točke te oduzmemo onaj broj koji predstavljaju znamenke koje se ne ponavljaju, a u nazivnik pišemo broj $9$ onoliko puta koliko ima znamenki koje se ponavljaju
• ako broj ima mješovito periodički decimalni zapis, u brojnik zapišemo taj broj bez decimalne točke te oduzmemo onaj broj koji predstavljaju znamenke koje se ne ponavljaju, a u nazivnik pišemo broj $9$ onoliko puta koliko ima znamenki koje se ponavljaju, zatim broj $0$ onoliko puta koliko ima znamenki koje se ne ponavljaju, a nalaze se nakon decimalne točke

Najbolje ćemo uočiti na primjerima: