Svojstva trigonometrijskih funkcija

SŠ

Mat A

Parnost/neparnost

Funckija $f$ je parna ako za svaki $x$ i $-x $za koji je funkcija definirana(svaki $x$, $-x$ koji možemo ubaciti u funkciju) vrijedi $f(x) = f(-x)$. Graf parne funckije je simetričan obzirom na $y$-os.

Funckija $f$ je neparna ako za svaki $x$ i $-x $za koji je funkcija definirana(svaki $x$, $-x$ koji možemo ubaciti u funkciju) vrijedi $f(x) = -f(x)$. Graf neparne funckije je simetričan obzirom na ishodište.

Za sve druge funkcije kažemo da nisu niti parne niti neparne.

Kada provjeravamo ovo svojstvo, računamo $f(-x)$, u funkciju umjesto $x$ svugdje ubacimo $-x$ i gledamo što ćemo dobiti. Ako dobijemo istu funckiju kao na početku, funckija je parna, a ako dobijemo istu funkciju samo sa jednim minusom ispred svega, funkcija je neparna.

Parnost i neparnost trigonometrijskih funkcija

sinus je neparna funkcija, vrijedi: $\sin (-x) = -\sin x$
kosinus je parna funkcija, vrijedi: $\cos (-x) = \cos x$
tangens je neparna funkcija, vrijedi: $\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}x$
kotangens je neparna funkcija, vrijedi: $\operatorname{ctg}(-x) = -\operatorname{ctg}x$

Periodičnost

Funckija $f$ je periodična s periodom $T$ ako vrijedi $f(x) = f(x +T)$, odnosno vrijednost funkcije $f$ se ponovi svaki put kada se pomaknemo za $T$. Najmanji takav pozitivni period $T$ se zove temeljni period.

Periodičnost trigonometrijskih funkcija

sinus i kosinus su periodične s temeljnim periodom $T = 2\pi$

$ \sin (x+2\pi) = \sin x \quad , \quad \cos (x+2\pi) = \cos x $

period funkcija $f(x)=\sin (\omega x+\varphi) \text { i } f(x)=\cos (\omega x+\varphi)$ gdje su $\omega$ i $\varphi$ neki brojevi, računa se formulom

$ T = \frac{2\pi}{|\omega |} $

tangens i kotangens su periodične s temeljnim periodom $T = \pi$, vrijedi

$ \operatorname{tg}(x+\pi ) = \operatorname{tg}x \quad , \quad \operatorname{ctg}(x+\pi )=\operatorname{ctg}x $

period funkcija $f(x)=\operatorname{tg} (\omega x+\varphi) \text { i } f(x)=\operatorname{ctg} (\omega x+\varphi)$ gdje su $\omega$ i $\varphi$ neki brojevi, računa se formulom

$ T = \frac{\pi}{|\omega |} $

Zadatci s državne mature: